题目内容

观察：
1³+2³=9= $数学公式$ ×2²×3²
1³+2³+3³=36= $数学公式$ ×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100= $数学公式$ ×4²×5²
…，
①若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=________；
②利用上题的结论来比较1³+2³+3³+…+100³与（-5000）²的大小．

$\text{[math]}$ n²（n+1）²
分析：1³+2³=9= $\text{[math]}$ ×2²×3²= $\text{[math]}$ ×2²×（2+1）²
1³+2³+3³=36= $\text{[math]}$ ×3²×4²= $\text{[math]}$ ×3²×（3+1）²
1³+2³+3³+4³=100= $\text{[math]}$ ×4²×5²= $\text{[math]}$ ×3²×（3+1）²
…
因此当有n项相加时，1³+2³+3³+…+n³= $\text{[math]}$ n²（n+1）²，由此可求出①②的答案．
解答：（1） $\text{[math]}$ n²（n+1）²；
（2）根据规律可知1³+2³+3³+…+100³= $\text{[math]}$ ×100²×101²=5000× $\text{[math]}$ ＞5000×5000
因此1³+2³+3³+…+100³＞（-5000）²．
点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．

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1³+2³+3³+4³=100=

×4²×5²
…，
①若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=

；
②利用上题的结论来比较1³+2³+3³+…+100³与（-5000）²的大小．

观察：13+23=9=

×22×32，13+23+33=36=

×32×42，13+23+33+43=100=

×42×52，…
（1）若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=

（2）利用上题中的结论来比较1³+2³+3³+…+100³

（-5000）²（用“＞”“＜”或“=”填空）

观察：
1³+2³=9=

×2²×3²
1³+2³+3³=36=

×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=

×4²×5²
…，
①若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=______；
②利用上题的结论来比较1³+2³+3³+…+100³与（-5000）²的大小．

观察：
1³+2³=9=

×2²×3²
1³+2³+3³=36=

×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=

×4²×5²
…，
①若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=_______；
②利用上题的结论来比较1³+2³+3³+…+100³与（-5000）²的大小。