Question

（10分）如图1，四边形ABCD、EFGH为全等的矩形．且矩形ABCD的对角线交于点E，点A在EG上，∠ACB=300．将矩形EFGH绕点E顺时针旋转а角（00＜а＜600），如图2，GE、FE与AD分别相交于N、M．

（1）求证：AN+DM>MN；

（2）若MN2+DM2=AN2，求旋转角а的大小．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）45°．

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得AE=DE，再求出∠AED=120°，将△AEN绕点E顺时针旋转120°得到△DPE，连接MP，根据旋转的性质可得EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，再求出∠MEN=∠MEP=60°，然后利用“边角边”证明△MEN和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边证明即可；

（2）利用勾股定理逆定理判断出△DPM是直角三角形，根据全等三角形对应角相等可得∠EMN=∠EMP=45°，利用三角形的内角和定理求出∠MNE=75°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEN=45°，即为旋转角度数．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE=DE，

∵∠ACB=30°，∴∠AED=180°﹣30°×2=120°，

将△AEN绕点E顺时针旋转120°得到△DPE，连接MP，

则EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，

∵∠AED=120°，∴∠MEN=∠MEP=60°，

在△MEN和△MEP中，

∵EP=NE，∠MEN=∠MEP，EM=EM，∴△MEN≌△MEP（SAS），∴MN=MP，

由三角形的三边关系得，DP+DM＞MP，∴AN+DM＞MN；

（2）【解析】
∵MN2+DM2=AN2，∴△DPM是直角三角形，∠DMP=90°，

∵△MEN≌△MEP，∴∠EMN=∠EMP=45°，

在△MNE中，∠MNE=180°﹣45°﹣60°=75°，

在△ANE中，∠AEN=∠MNE﹣∠CAD=75°﹣30°=45°，

∴旋转角为45°．

考点：旋转的性质．

考点分析： 考点1：图形的平移与旋转 定义：
将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 平移的三个要点
1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。 平移作图的步骤：
（1）找出能表示图形的关键点；
（2）确定平移的方向和距离；
（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
（4）按原图的顺序，连结各对应点。 试题属性

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