Question

17．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E、F．若正方形ABCD的周长是40cm，
（1）证明四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三个角是直角的四边形是矩形进行判断即可．
（2）只要证明四边形EFBG的周长=AB+BC即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线
∴∠B=90°，∠BCA=∠BAC=45°
∵EF⊥AB，EG⊥BC．
∴∠EGB=∠EFB=90°，
∴四边形BFEG是矩形
（2）解：∵四边形BFEG是矩形
∴EG=BF，EF=BG，
∴∠CEG=∠ECG=45°，∠AEF=∠FAE=45°，
∴△CEG，△AEF都是等腰直角三角形．
即EG=CG　　AF=EF．
∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB=BC=AD=CD=10cm，
∴矩形BFEG周长=BG+EG+BF+EF=BC+AB=10+10=20（cm）．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于基础题，中考常考题型．