Question

6．如图，直线y=2x+4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于A（-3，a）和B两点
（1）求k的值；
（2）直线y=m（m＞0）与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值；
（3）直接写出不等式$\frac{6}{x-5}$＞x的解集．

Answer 1

分析 （1）把点A（-3，a）代入y=2x+4与y=$\frac{k}{x}$即可得到结论；
（2）根据已知条件得到M（$\frac{m+4}{2}$，m），N（$\frac{6}{m}$，m），根据MN=4列方程即可得到结论；
（3）根据$\frac{6}{x-5}$＞x得到$\frac{6-{x}^{2}+5x}{x-5}$＞0解不等式组即可得到结论．

解答 （1）∵点A（-3，a）在y=2x+4与y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴2×（-3）+4=a，
∴a=-2，
∴k=（-3）×（-2）=6；
（2）∵M在直线AB上，
∴M（$\frac{m-4}{2}$，m），N在反比例函数y=$\frac{6}{x}$上，
∴N（$\frac{6}{m}$，m），
∴MN=x_N-x_M=$\frac{6}{m}$-$\frac{m-4}{2}$=4或x_M-x_N=$\frac{m-4}{2}$-$\frac{6}{m}$=4，
解得：∵m＞0，
∴m=2或m=6+4$\sqrt{3}$；
（3）x＜-1或5＜x＜6，
由$\frac{6}{x-5}$＞x得：$\frac{6}{x-5}$-x＞0，
∴$\frac{6-{x}^{2}+5x}{x-5}$＞0，
∴$\frac{{x}^{2}-5x-6}{x-5}$＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＞0}\\{x-5＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＜0}\\{x-5＞0}\end{array}\right.$，
结合抛物线y=x²-5x-6的图象可知，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＞0}\\{x-5＜0}\end{array}\right.$得
$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1或x＞6}\\{x＜5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＜5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞6}\\{x＜5}\end{array}\right.$，
∴此时x＜-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x-6＜0}\\{x-5＞0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{x＞5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{x＞5}\end{array}\right.$，
解得：5＜x＜6，
综上，原不等式的解集是：x＜-1或5＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求不等式组的解集，正确的理解题意是解题的关键