Question

已知：关于x的方程x²－2mx＋n²＝0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰与底边的长．(1)求证：这个方程有两个不相等的实数根；(2)若方程两实数根的差的绝对值是8，并且多腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵Δ＝4m2－n2＝(2m＋n)(2m－n)， 　　∵m＞0，n＞0，且2m＞n，∴(2m＋n)(2m－n)＞0． 　　∴Δ＞0，这个方程有两个不相等的实数根． 　　(2)设x1、x2是方程的两个实根， 　　则x1＋x2＝2m，x1x2＝n2， 　　∴|x1－x2|＝ 　　＝＝8　　① 　　由题意，得三角形底边上的高为， 　　∴n·＝12，即n·＝48　　② 　　由①、②得n＝6． 　　又4m2－36＝64，m＝±5， 　　∵m＞0，∴m＝5． 　　∵S△＝r(a＋b＋c)，而a＋b＋c＝2m＋n＝16，S＝12， 　　∴r＝＝＝， 　　∴这个三角形的内切圆的面积为π．