Question

如图，已知等边三角形ABC，点D在BC上，点E在AB上，且AE=BD，AD交CE于点P，CF交AD于F，EH∥CF交AD于H．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来；
（2）在你写出的全等三角形中，选取你喜欢的一对予以证明；
（3）当FH=3.5cm时，求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形性质和全等三角形的判定推出即可．
（2）根据等边三角形性质得出∠EAC=∠B=60°，AC=AB，根据SAS推出即可．
（3）根据全等三角形的性质得出AD=CE，∠BAD=∠ACE，求出∠FPC=60°，推出∠FCP=30°，∠HEP=30°，推出EP=2PH，CP=2FP，即可得出答案．

解答：解：（1）图中有2对全等三角形，有△ACE≌△BAD，△ADC≌△BEC；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC=∠B=60°，AC=AB，
在△ACE和△BAD中

AC=AB ∠EAC=∠B AE=BD

∴△ACE≌△BAD（SAS）；

（3）∵△ACE≌△BAD，
∴AD=CE，∠BAD=∠ACE，
∵∠BAC=60°，
∴∠FPC=∠ACE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCP=30°，
∴CP=2FP，
∵EH∥CF，
∴∠EHP=∠PFC=90°，∠HEP=∠FCP=30°，
∴EP=2PH，
∴AD=CE=2PF+2PH=2HF=2×3.5cm=7cm．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质的应用，综合性比较强，有一定的难度．