题目内容
15．已知抛物线y=x2-2x-a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M，直线y=$\frac{1}{2}$x+a分别与x轴、y轴相交于点B、C两点，且与直线AM相交于点N．（1）填空：用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，得M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和△CDN′的面积；
（3）在抛物线y=x2-2x-a（a＞0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，-a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，-a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-x-a．直线AM和y=$\frac{1}{2}$x+a联立方程组即可求出N的坐标．
（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，得出N′的坐标．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．也就能确定N，C的坐标．求出△ANC和△ADC的面积，即可得出△CDN的面积；
（3）本题可分两种情况进行讨论：
①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．
②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可．
解答 
解：（1）M（1，-a-1），N（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）；
故答案为：1，-a-1；-$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a；
（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴N′（$\frac{4}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）．
将N′的坐标代入y=x2-2x-a得：$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a2-$\frac{8}{3}$a-a，
∴a1=0（不合题意，舍去），a2=$\frac{9}{4}$．
∴N（-3，$\frac{3}{4}$），
∴点N到y轴的距离为3．
∵A（0，-$\frac{9}{4}$），N'（3，$\frac{3}{4}$），
∴直线AN'的解析式为y=x-$\frac{9}{4}$，它与x轴的交点为D（$\frac{9}{4}$，0），
∴点D到y轴的距离为$\frac{9}{4}$．
由题知，A（0，a），C（0，-a），
∴点A，C关于x轴对称，
∴AC=2AO，
∴S△CDN=S△ACN-S△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{16}$；
（3）存在，理由如下：
①当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，
则PN∥AC，PN=AC，
则把N向上平移2a个单位得到P，坐标为（-$\frac{4}{3}$a，$\frac{7}{3}$a），
代入抛物线的解析式，得：$\frac{7}{3}$a=$\frac{16}{9}$a2+$\frac{8}{3}$a-a，
解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=$\frac{3}{8}$，
则P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）；
②当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
则OA=OC，OP=ON．
则P与N关于原点对称，则P（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a）；
将P点坐标代入抛物线解析式得：-$\frac{1}{3}$a=$\frac{16}{9}$a2-$\frac{8}{3}$a-a，
解得a1=0（不合题意，舍去），a2=$\frac{15}{8}$，
则P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
故存在这样的点P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）或P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．
点评 本题是二次函数综合题目，着重考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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