Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F为三边延长线上的点，且DE∥AC，连接EF交BD于点G，∠BEF+2∠B=180°．
（1）当BD=EF时，请找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
（2）若BD=kEF，AB=a，cosB=$\frac{1}{6}$，求线段BE的长．（用含有k，a的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，由平行线的性质得到∠DEB=∠ACB，等量代换得到∠DEB=∠B，根据已知条件得到∠EGB=∠B，由等腰三角形的判定得到BE=GE，∵根据全等三角形的性质得到GE=FC，于是得到结论；
（2）作AH⊥BC于H，由cos∠B=$\frac{BH}{AB}=\frac{1}{6}$，得到BH=$\frac{1}{6}$a，根据等腰三角形的性质得到BC=2BH=$\frac{1}{3}$a，根据相似三角形的性质得到BE=GE=3BG，DB=DE=3BE，设CE=x，得到BE=$\frac{1}{3}$a+x，BG=$\frac{1}{9}$a+$\frac{1}{3}$xD得到kx+$\frac{1}{9}$a+$\frac{1}{3}$x=3（$\frac{1}{3}$a+x），解方程即可得到结论．

解答 解：（1）当BD=EF时，BE=GE=FC，
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=∠ACB
∴∠DEB=∠B，
∵∠BEF+2∠B=180°，∠D+2∠B=180°，
∴∠D=∠BEF，
∴∠EGB=180°-∠B-∠BEF，
∴∠EGB=180°-∠B-∠BEF=180°-∠B-∠D=∠BED，
∴∠EGB=∠B，
∴BE=GE，
∵AC∥DE，
∴∠F=∠DEF，
在△CEF与△GDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DEF}\\{∠BEF=∠D}\\{EF=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△GDE，
∴GE=FC，
∴BE=GE=CF；

（2）∵∠BAC=∠D=∠BEG，∠B=∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBG∽△DBE，
作AH⊥BC于H，
∵cos∠B=$\frac{BH}{AB}=\frac{1}{6}$，
∴BH=$\frac{1}{6}$a，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=$\frac{1}{3}$a，
∵△ABC∽△EBG∽△DBE，
∴BE=GE=3BG，DB=DE=3BE，
设CE=x，
∴BE=$\frac{1}{3}$a+x，
∴BG=$\frac{1}{9}$a+$\frac{1}{3}$x，
∵∠F=∠DEF，∠BEF=∠D，
∴△CEF∽△GDE，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{DG}{CE}$=k，
∴DG=kCE=kx，
∴BD=DG+BG=3BE，
即kx+$\frac{1}{9}$a+$\frac{1}{3}$x=3（$\frac{1}{3}$a+x），
∴x=$\frac{8a}{3k-24}$，
∴BE=$\frac{1}{3}$a+$\frac{8a}{3k-24}$=$\frac{ka}{3k-24}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判断和性质是解题的关键．