Question

3．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（1，0）、C两点（点C在点A的左侧），与y轴交于点B，且抛物线的顶点坐标为（-1.5，3.125），以AB为直径的⊙M经过原点O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，判定BC与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且在B、C两点之间，问当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得∠1与∠3的关系，根据余角的性质，可得∠1与∠2的关系，根据切线的判定，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PD的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）由抛物线的顶点坐标为（-1.5，3.125），得
对称轴为x=-$\frac{3}{2}$．
由A、C关于对称轴对称，得
C点坐标是（-4，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B及顶点的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=\frac{25}{8}}\\{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）BC与⊙M相切，理由如下：
如图1：，
$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{2}$=2，$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{1}$=2，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OB}{OA}$，
∵∠BOC=∠AOB=90°，
∴△OBC∽△OAB，
∴∠1=∠3．
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴BC⊥BA．
∵BC经过半径的外端，
∴BC与⊙M相切．
（3）如图2：，
BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，设D（m，$\frac{1}{2}$m+2），P在抛物线上，设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）．
PD的长为-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2；
S_△PBC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•CE+$\frac{1}{2}$PD•OE
=$\frac{1}{2}$PD•OC
=$\frac{1}{2}$×|-4|×[-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2]
当m=-2时，S_△PBC最大=4，
当m=-2时，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=3，即P（-2，3），
当P运动到（-2，3）时，S_△PBC最大=4．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出C点坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出∠1与∠3的关系是解题关键，又利用了余角的性质，切线的判定；利用三角形的面积的和差得出二次函数是解题关键．