题目内容

如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB= $数学公式$ ，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

解：（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
$\text{[math]}$ ，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）当0＜t≤2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当2≤t＜4时 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ，
综上： $\text{[math]}$ ；

（3）（i）当MO=MP时，∠MOP=∠MPO=30°
∴PQ⊥OQ，
∴OP=2OQ，
∴4-t=2（t-2），
∴ $\text{[math]}$ ；
（ii）当OP=OM时，过P作PN⊥OQ于N，
则∠QPN=45°，
∴PN=QN，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
（iii）当OP=PM时，PQ∥y，
此时∠MOP=∠OMP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
综上，当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△OPM为等腰三角形．
分析：（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；
（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE与AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式；
（3）分三种情况考虑：第一，OP为等腰三角形的底边时，由∠MOP等于∠MPO都等于30°，则∠QOP为60°，得到PQ与OQ垂直，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OP等于2OQ，分别表示出OP和OQ代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第二，当OP为等腰三角形的腰时，过P作PN⊥OQ，得到∠QPN=45°，所以△QPN为等腰直角三角形得到PN=QN，分别表示出PN和QN列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；第三，当OP=PM时，PQ∥y，不存在三角形．
点评：此题考查学生会根据已知的边和角利用三角函数的定义求出未知边和角，掌握直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半及等腰三角形的性质与判断，注意灵活运用分类讨论的方法解决实际问题，是一道综合题．学生做题时应注意考虑问题要全面．