Question

2．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，则下列结论：
①a＜0，b＜0；②a+b+c＞0；③a-b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；
⑤b²-4ac＞0；⑥4a+2b+c＞0；⑦a+b＞m（am+b）（m≠1）．
其中正确的结论有（　　）

• A． 4个
• B． 5个
• C． 6个
• D． 7个

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴的交点得出b²-4ac的符号，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，且a＜0，
∴b＞0，故此选项错误；
②当x=1时，对应y的值大于0，即a+b+c＞0，故此选项正确；
③当x=-1时，对应y的值小于0，即a-b+c＜0，故此选项正确；
④当x＞1时，y随x的增大而减小，正确；
⑤图象与x轴有两个交点，故b²-4ac＞0，正确；
⑥∵抛物线对称轴为直线x=1，且图象与x轴左侧交点大于-1，故抛物线与x轴右侧交点大于2，
故当x=2时4a+2b+c＞0，正确；
⑦∵当x=1时，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞m（am+b），（m为实数且m≠1），故此选项正确；
故正确的有6个．
故选：C．

点评 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值．