Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）连结OC，如果PD=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得DC，OD的长，再由勾股定理可求出OC的长

解答 （1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；
（2）解：∵OD∥BE，∠ABC=60°，
∴∠DOP=∠ABC=60°，
∵PD⊥OD，
∴tan∠DOP=$\frac{DP}{OD}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{OD}=\sqrt{3}$，
∴OD=2，
∴OP=4，
∴PB=6，
∴sin∠ABC=$\frac{PC}{PB}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{PC}{6}$，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∴DC=$\sqrt{3}$，
∴DC²+OD²=OC²，
∴（$\sqrt{3}$）²+2²=OC²，
∴OC=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．