Question

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

　

Answer 1

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）已知△ABC≌△FCB，根据全等三角形的性质可知AB=CF，AC=BF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．

（2）根据已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根据全等三角形的性质即可得到OP=OQ．

（3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可．

【解答】（1）证明：∵△ABC≌△FCB，

∴AB=CF，AC=BF．

∴四边形ABFC为平行四边形．

 

（2）解：OP=OQ，

理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，

∴△COQ≌△BOP．

∴OQ=OP．

 

（3）解：90°．

理由：∵OP=OQ，OC=OB，

∴四边形PCQB为平行四边形，

∵BC⊥PQ，

∴四边形PCQB为菱形．

【点评】此题考查学生对平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识的综合运用．