Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+$\frac{3}{4}$经过M（-$\frac{1}{2}$，0），N（$\frac{3}{2}$，0），正方形EADF、ABCD的边长均为m，边BC落在x轴上，点E、F在抛物线y=ax²+bx+$\frac{3}{4}$上．
（1）求此抛物线所对应的函数关系式；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+$\frac{3}{4}$经过M（-$\frac{1}{2}$，0），N（$\frac{3}{2}$，0），根据待定系数法求出a和b的值即可；
（2）把抛物线的一般表达式写出顶点坐标式，据此写出抛物线的对称轴；
（3）设点B的坐标为（n，0），则C点坐标为（n+m，0），根据正方形的知识求出E和F点的坐标，进而得到m和n的二元二次方程组，解方程求出m的值即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+$\frac{3}{4}$经过M（-$\frac{1}{2}$，0），N（$\frac{3}{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+\frac{3}{4}}\\{0=\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+$\frac{3}{4}$；

（2）∵y=-x²+x+$\frac{3}{4}$；
∴y=-（x-$\frac{1}{2}$）²+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$；

（3）设点B的坐标为（n，0），则C点坐标为（n+m，0），
∵正方形EADF、ABCD的边长均为m，
∴E点坐标为（n，2m），F点坐标为（n+m，2m），
∵点E、F在抛物线y=-x²+x+$\frac{3}{4}$上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m=-{n}^{2}+n+\frac{3}{4}}\\{2m=-（n+m）^{2}+m+n+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得2n+m-1=0，
把n=$\frac{1-m}{2}$代入2m=-n²+n+$\frac{3}{4}$，
即2m=-$\frac{（1-m）^{2}}{4}+\frac{1-m}{2}+\frac{3}{4}$，
整理得m2-8m+4=0，
解得m=4±2$\sqrt{3}$，
由于|MN|=$\frac{3}{2}-（-\frac{1}{2}）$=2，则m=4+2$\sqrt{3}$不符合题意，舍去，
则m的值为4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题的知识，此题涉及知识点较多，有待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质以及二次函数的性质，解答此题关键是求出抛物线的解析式，解答第（3）问时利用正方形的性质求出E和F点坐标，此题有一定的难度．