Question

13．小杰同学研究两平行线被第三条直线所截构成的同位角、内错角、同旁内角的角平分线的位置关系发现了一些比较特殊，你也有同样的发现吗？
（1）两平行线被第三条直线所截，同位角角平分线平行，内错角角平分线平行，同旁内角角平分线垂直，邻补角角平分线垂直，对顶角角平分线共线．
（2）如图：直线AB∥直线CD，直线EF分别与AB，CD交于点M、N，MP平分∠AMN，NQ平分∠MND，则MP∥NQ，试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）若两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，则同位角的平分线与第三条直线组成的角相等，所以同位角的平分线互相平行，同理内错角的平分线互相平行，因为两直线平行，同旁内角互补，所以同旁内角的平分线互相垂直；
（2）由AB∥CD，根据平行线的性质得∠AMN=∠MND，再根据角平分线的定义得到∠NMP=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNQ=$\frac{1}{2}$∠MND，则∠NMP=∠MNQ，然后根据平行线的判定即可得到MP∥NQ．

解答 解：（1）两平行线被第三条直线所截，同位角角平分线平行，内错角角平分线平行，同旁内角角平分线垂直，邻补角角平分线垂直，对顶角角平分线共线，
故答案为：平行，平行，垂直，垂直，共线；

（2）∵AB∥CD，
∴∠AMN=∠MND，
∵MP平分∠AMN，NQ平分∠MND，
∴∠PMN=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNQ=$\frac{1}{2}$∠MND，
∴∠PMN=∠MNQ，
∴MP∥NQ．
故答案为：∥．

点评 此题主要考查了平行线的判定定理即平行线的判定定理一两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简记为：内错角相等，两直线平行）．平行线的判定定理二两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简记为：同旁内角互补，两直线平行）．