Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，AD平分∠CAB交BC于点E，DF是⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

（1）求证；DF⊥AF；

（2）若⊙O的半径是5， AD=8，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，得OD⊥DF，借助AD平分∠CAB，证明AF∥OD，可证DF⊥AF；

（2）证明△FAD∽△DAB，可得DF长．

（1）证明：连接OD．

∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF．

∴∠ODF =90°．

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD =∠DAB．

又∵OA=OD，

∴∠DAB =∠ADO．

∴∠CAD =∠ADO．

∴AF∥OD．

∴∠F+∠ODF =180°．

∴∠F =180°-∠ODF=90°．

∴DF⊥AF．

（2）解：连接DB．

∵AB是直径，⊙O的半径是5， AD=8，

∴∠ADB=90°，AB=10．

∴．

∵∠F=∠ADB=90°，∠FAD =∠DAB，

∴△FAD∽△DAB．

∴．

∴．