Question

【题目】如图，矩形中，对角线交于点为上任意点，为中点，则的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

设M、N分别为AB、AD的中点，则MN是△ABD的中位线，点F在MN上，作点O关于MN的对称点O′，连接BO′，则BO′即为的最小值，易证△ABO是等边三角形，过点A作AH⊥BO于H，求出AH＝OO′＝，然后利用勾股定理求出BO′即可．

解：如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN是△ABD的中位线，

∵E为BD上任意点，F为AE中点，

∴点F在MN上，

作点O关于MN的对称点O′，连接BO′，则BO′即为的最小值，

∵四边形ABCD是矩形，，

∴OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB＝BO＝4，

过点A作AH⊥BO于H，则BH＝HO＝2，

∴AH＝，

∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为O′

∴OO′＝AH＝，且OO′⊥BD，

∴，

即的最小值为，

故选：A．