Question

3．如图，正方形ABCD，E为BC边的中点，连接AE、OC，以AD为直径的⊙O交AE于点F，交OC于点G，连接CF，DG．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）求tan∠GDC的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ODC≌△OFC（SAS），即可推出∠OFC=∠ODC=90°，解决问题．
（2）如图2中，作GH⊥CD于H．设OA=OD=a，则CD=2a．在Rt△OCD中，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，推出CG=（$\sqrt{5}$-1）a，由GH∥OD，推出$\frac{GH}{OD}$=$\frac{CG}{CO}$=$\frac{CH}{CD}$，求出GH、DH即可解决问题．

解答 解：（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO
∴AO=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，
∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
在△ODC与△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{∠DOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；

（2）如图2中，作GH⊥CD于H．设OA=OD=a，则CD=2a．

在Rt△OCD中，OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴CG=（$\sqrt{5}$-1）a，
∵GH∥OD，
∴$\frac{GH}{OD}$=$\frac{CG}{CO}$=$\frac{CH}{CD}$，
∴$\frac{GH}{a}$=$\frac{（\sqrt{5}-1）a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{CH}{2a}$，
∴GH=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}$a，CH=$\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}$a，
∴DH=2a-$\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}$a，
∴tan∠GDC=$\frac{GH}{DH}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}}a}{2a-\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}a}$=$\frac{8-2\sqrt{5}}{11}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．