Question

【题目】如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.

（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；

（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）

【解析】

（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．

解：（1）是的角平分线

在中，，

同理：

（2）（1）中结论仍然成立，理由：

过点作于，于

由（1）知，

，且点是的平分线上一点

（3）结论为：.

理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DFOD＝EGOD，OG＝OEEG，
∴OF＋OG＝EGOD＋OEEG＝OEOD，
∴OEOD＝OC．