题目内容
【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：y=-
x-6交y轴与点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.
（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB、EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH、HF，当点E运动到什么位置时，以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E、H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值.
【答案】（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②
【解析】分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=
AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
详解：（1）（1）∵点A（-4，-4），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+4；
（2）设直线AB的表达式为y=kx+b
∵直线AB过点A(-4，-4)，B(0，4)，
∴
，解得
，
∴y=2x+4
设E(m，2m+4)，则G(m，-m2-2m+4)
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴GE=OB=4，
∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2
∴G(-2，4)
（3）①设E(m，2m+4)，则F(m，-m-6)
过A作AN⊥EG，过H作HQ⊥EG
四边形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0，-1)
②由题意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=
，即⊙E的半径为，
∵M点在⊙E上，∴EM=
∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴AE=2
在AE上截取EP=EM，则EP=
，连接PM，
在ΔEPM与ΔEMA中，∵
=
==
=
，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴线段PC的长即为AM+CM的最小值
由EP=EM=
AE=×2=，AP=AE-PE=
, AC=2 ∴PC=
即AM+CM的最小值为.
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