Question

如图，P为圆外一点，PB交圆于点A，B，PD交圆于点C，D，

BD

=75°，

AC

=15°
（1）求∠P的度数；
（2）如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．”来概括出圆外角的性质；
（3）请你定义“圆内角”，并概括圆内角的性质．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：新定义

分析：（1）首先连接AD，根据圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即可求得∠BAD与∠ADC的度数，继而求得答案；
（2）由（1）的证明方法可证得圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
（3）利用图形可以得出圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半，根据圆周角定理得出∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

，再利用三角形的外角性质得出答案即可．

解答：解：（1）连接AD，
∵

BD

=75°，

AC

=15°，
∴∠BAD=

1

2

×75°=37.5°，∠ADC=

1

2

×15°=7.5°，
∴∠P=∠BAD-∠ADC=30°；

（2）圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
理由：连接AD，
∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴∠BAD=

1

2

×

BD

，∠ADC=

1

2

×

AC

，
∴∠P=∠BAD-∠ADC=

1

2

（

BD

-

AC

），
∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半；

（3）圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．
证明：如图，延长BA，交圆于点D，延长CA，交圆于点E，连接CD．
∵∠BAC是△ACD 的一个外角，
∴∠BAC=∠C+∠D．
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），
∴∠C=

1

2

DE

，∠D=

1

2

BC

．
∴∠BAC=∠C+∠D=

1

2

DE

+

1

2

BC

=

1

2

（

DE

+

BC

）．
∴命题成立．

点评：此题主要考查了圆周角定理的应用以及弧度与圆心角的关系和探索性问题，根据已知探索方法进行模仿变式进而得出新的规律是解题关键．