Question

14．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，则线段BF的取值范围为3≤BF≤4．

Answer 1

分析 如图1、2，在点H或点E的极限位置处，作出符合题意的两个几何图形；在图1中，由题意得AF=CF（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，进而得到BF的值．在图2中，首先证明∠CEF=∠CFE，得到CF=CE=4，进而求出BF的值．

解答 解：如图1，当点H与点A重合时，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°；
由题意得：AF=CF（设为λ），则BF=8-λ；
由勾股定理得：λ²=4²+（8-λ）²，
解得：λ=5，BF=3；
如图2，当点E与点D重合时，
由翻折变换的性质得：∠HEF=∠CEF=45°，HE=CE；
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=4，BF=8-4=4，
综上所述，线段BF的取值范围为3≤BF≤4．
故答案为3≤BF≤4．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入把握题意，运用分类讨论的数学思想，正确作出符合题意的几何图形，根据图形逐一解析．