Question

【题目】(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；

（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，

且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°) ．求证：DE2=AD2+EC2．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）由旋转的性质易得BE′=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得∠E′BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE′=DE；

（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE′A，根据勾股定理即可证得结论．

解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，

∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．

∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC．

∴∠ABD＋∠E′BA =∠ABC，即∠E′BD=∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．

在△E′BD和△EBD中，∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，

∴△E′BD≌△EBD（SAS）．

∴DE′=DE．

（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．

由（1）知DE′=DE．

由旋转的性质，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．

又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．

∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．

在Rt△DE′A中，DE′2=AD2+E′A2，

∴DE2=AD2+EC2．