Question

如图，正方形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的点，若将正方形沿直线MN折叠，使点A落在CD边上的E点处，点B落在F处，EF交BC于点G．若AB=a，求△EGC的周长（用a的代数式表示）．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连结EM．设CE=x，DM=y，则DE=a-x，EM=a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CGE，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，EG分别用x，y分别表示，△EGC的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到2ax-x²=2ay，进而求出△EGC的周长．

解答：解：连结EM．
设CE=x，DM=y，则DE=a-x，EM=a-y，
∵∠MEG=90°，
∴∠DEM+∠CEG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DME=∠CEG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△DEM∽△CGE，
∴

CG

DE

=

CE

DM

=

EG

ME

，即

CG

a-x

=

x

y

=

EG

a-y

，
∴CG=

x(a-x)

y

，EG=

x(a-y)

y

，
∴△EGC的周长为CE+CG+EG=

2ax-x2

y

，
在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²，
即y²+（a-x）²=（a-y）²
整理得2ax-x²=2ay，
∴CE+CG+EG=

2ax-x2

y

=

2ay

y

=2a．
所以△EGC的周长为2a．

点评：本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．