Question

【题目】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB＝∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．

（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；

（2）若CB＝4，CD＝8，①求圆的半径．②求ED的长．

Answer 1

【答案】（1）直线CD是⊙O的切线，见解析；（2）①见解析，②12

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDB+∠BDO＝90°，根据切线的判定推出即可；

（2）①证明△CDB∽△CAD，可得，可求出AC，则AB可求出；

②求出OC和OD，证明OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长．

（1）证明：连接OD，

∵OD＝OB，

∴∠DBA＝∠BDO，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∵∠CDB＝∠CAD，

∴∠CDB+∠BDO＝90°，

即OD⊥CE，

∵D为⊙O的一点，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）①∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠BDC+∠ODB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，

∴∠BDC＝∠DAB，

∵∠DCB＝∠ACD，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴AC＝＝16，

∴AB＝AC﹣BC＝16﹣4＝12，

∴圆的半径为6；

②∵OD＝OB＝6，

∴OC＝OB+BC＝10，

∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E，

∴EA⊥AC，

∵OD⊥CE，

∴∠ODC＝∠EAC＝90°，

∵∠OCD＝∠ECA，

∴△OCD∽△ECA，

∴，即，

∴EC＝20，

∴ED＝EC﹣CD＝20﹣8＝12．