Question

14．已知$\frac{1}{3}$=0.$\stackrel{•}{3}$，即$\frac{1}{3}$=0.3+0.03+0.003+…，等式两边同乘3，则有1=0.9+0.09+0.009+…，也即1=0.$\stackrel{•}{9}$，借鉴上述操作，若有$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…，那么$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{7}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{8}$．

Answer 1

分析 根据给定操作可知，左右两边同时乘以某一个数，等号扔成立，在$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…的左右两边同时乘以$\frac{1}{{2}^{2}}$等号仍成立，展开后会发现等号右边为$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…，在$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…中减去$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…即是所求．

解答 解：∵$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…，
∴$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{2}^{2}×{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{4}^{2}}$+…=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…，
$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{7}^{2}}$+…=$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…=$\frac{{π}^{2}}{6}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$．
故答案为：$\frac{{π}^{2}}{8}$．

点评 本题考查了数字的变化类，解题的关键是：依照例题找出$\frac{1}{{2}^{2}}$×$\frac{{π}^{2}}{6}$=$\frac{1}{{2}^{2}×{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}×{4}^{2}}$+…=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$+$\frac{1}{{8}^{2}}$+…．