Question

平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（-3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax²+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S₁，菱形ABCO的面积为S₂，当S₁≤

1

4

S₂时，求点E的纵坐标n的取值范围；
（3）如图2，D（0，-

5

2

）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以

5

5

个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O-A-B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,三角形的面积

专题：压轴题,动点型

分析：（1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得菱形的面积，即可求得S₁的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；
（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解．

解答：解：（1）∵C点坐标为（-3，4），四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=5，A点坐标为（5，0），
根据题意得：

9a-3b+c=4 c=0 25a+5b+c=0

，
解得：

a= 1 6 b=- 5 6 c=0

，
则抛物线的解析式是：y=

1

6

x²-

5

6

x；

（2）设BC与y轴相交于点G，则S₂=OG•BC=20，
∴S₁≤5，
又OB所在直线的解析式是y=2x，OB=

OG2+GB2

=2

5

，
∴当S₁=5时，△EBO的OB边上的高是

5

．
如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=

5

2

交于点E（

5

2

，n）．
过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=

5

，由△MNO∽△OGB，得OM=5，
∴y=2x-5，
由

y=2x-5 x= 5 2

，
解得：y=0，
即E的坐标是（

5

2

，0）．
∵与OB平行且到OB的距离是

5

的直线有两条．
∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5．
则E′的坐标是（

5

2

，10）．
由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，
当1＜t＜3.5时，
OP=

5

5

t，BP=2

5

-

5

5

t，OQ=2（t-1），
连接QP，当QP⊥OP时，有

PQ

OQ

=sin∠BOQ=sin∠OBC=

2

5

，
∴PQ=

4

5

（t-1），
若

PQ

PB

=

1

2

，则有

PQ

PB

=

OD

OA

，
又∵∠QPB=∠DOA=90°，
∴△BPQ∽△AOD，
此时，PB=2PQ，即2

5

-

5

5

t=

8

5

（t-1），
10-t=8（t-1），
∴t=2；
当3.5≤t≤6时，QB=10-2（t-1）=12-2t，连接QP．
若QP⊥BP，
则有∠PBQ=∠ODA，
又∵∠QPB=∠AOD=90°，
∴△BPQ∽△DOA，
此时，QB=

5

PB，即12-2t=

5

（2

5

-

5

5

t），12-2t=10-t，
∴t=2（不合题意，舍去）．
若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO，
此时，PB=

5

BQ，
即2

5

-

5

5

t=

5

（12-2t），2-

1

5

t=12-2t，
解得：t=

50

9

．
则t的值为2或

50

9

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．