题目内容
如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,正方形的性质
专题：
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得
=
，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得
=
，从而得到
=
，即可得解．
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得
| AB |
| MC |
| AM |
| MQ |
| AB |
| BM |
| AM |
| MQ |
| AB |
| MC |
| AB |
| BM |
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴
=
，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴
=
，
∴
=
，
∴BM=MC．
在△ABM和△BCP中，
|
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴
| AB |
| MC |
| AM |
| MQ |
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴
| AB |
| BM |
| AM |
| MQ |
∴
| AB |
| MC |
| AB |
| BM |
∴BM=MC．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．
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| A、38×107 |
| B、3.8×107 |
| C、3.8×108 |
| D、0.38×109 |