Question

12．一次函数y=$\frac{1}{2}$x-1的图象分别交x轴，y轴于点A，B，设点P是第四象限内一点，当以点P，A，B为顶点的三角形与△OAB全等时，点P的坐标为（$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$）或（2，-1）．

Answer 1

分析 根据直线方程求得A、B的坐标．需要分类讨论：△PAB≌△OAB、△PBA≌△OAB．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$x-1，
∴当x=0时，y=-1．当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，-1）．
设P（a，b）．
①当△PAB≌△OAB时，PA=OA=2，PB=OB=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+（y+1）^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
即P（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．
②当△PBA≌△OAB时，PB=OA，PA=OB，则四边形OAPB是矩形，易求P（2，-1）；
综上所述，点P的坐标为（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）或（2，-1）．
故答案是：（$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$）或（2，-1）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和一次函数图象上点的坐标特征．推知以点P，A，B为顶点的三角形与△OAB全等时，要分类讨论，以防漏解．