Question

13．如图1，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，异于C，B的动点D在CB边上，DE⊥AD．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）如图2，BE⊥BA交BE于E，求证：AD=DE．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质得出∠1+∠3=90°，求出∠2+∠3=90°，即可得出∠1=∠2；
（2）在AC上截取CF=CD，连接DF，得出AF=BD，证出△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，求出∠DBE=∠AFD=135°，由AAS证明△AFD≌△BDE，得出对应边相等即可．

解答 （1）证明：∵∠C=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接DF，如图所示：
∵AC=CB，
∴AF=BD，
由（1）得：∠1=∠2，∵CF=CD，AC=BC，
∴△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠DBE=∠AFD=135°，
在△AFD和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠DBE=∠AFD}\\{AF=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴AD=DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．