Question

3．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交对角线AC于E，BF平分∠ABC交对角线AC于F，连接BE和DF．求证：四边形DEBF是平行四边形．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC，AB=CD，AB∥CD，得出内错角相等∠BAF=∠DCE，再证出∠ABF=∠CDE，由ASA证明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，∠AFB=∠CED，证出BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ACD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABF=∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DCE}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE，
∴四边形DEBF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．