Question

已知矩形ABCD中，AB=3，对角线AC的垂直平分线与∠ABC外角的平分线交于N，若BN=

2

，则BC的长为

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：连接AN，CN，过N作MN⊥AM于M，根据勾股定理可求出AN的长，在△ANC中利用余弦定理即可求出BC的长．

解答：解：连接AN，CN，过N作MN⊥AM于M，
∵∠ABC外角的平分线交于N，若BN=

2

，
∴BM=MN=1，
∴AM=AB+BM=3+1=4，
∴AN=

AM2+MN2

=

17

，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴AN=CN，
根据余弦定理得：
BC²+BN²-2BC×BN×cos45°=AN²，
BC²-2BC-15=（BC-5）（BC+3）=0，
∴BC=5，
故答案为：5．

点评：本题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及勾股定理和余弦定理的运用，题目的综合性较强，难度较大．