题目内容
【题目】如图所示，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长．
（2）求经过O，D，C三点的抛物线的解析式．
（3）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ．
（4）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）
；（3）t=
；（4）存在，M点的坐标为（2,16）或（-6,16）或
【解析】
（1）由矩形的性质以及折叠的性质可求得CE、CO的长，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE的长；
（2）设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程可求得m的值，从而得出D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）用含t的式子表示出BP、EQ的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
（4）由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），设N（-2，n），M（m，y），分以下三种情况：①以EN为对角线，根据对角线互相平分，可得CM的中点与EN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当EM为对角线，根据对角线互相平分，可得CN的中点与EM的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；③当CE为对角线，根据对角线互相平分，可得CE的中点与MN的中点重合，根据中点坐标公式，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：（1）∵OABC为矩形，∴BC=AO=5，CO=AB=4．
又由折叠可知，
，
；
（2）设AD=m，则DE=BD=4-m，
∵OE=3，∴AE=5-3=2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴m2+22=(4-m)2，∴m=
，∴D
，
∵该抛物线经过C(-4，0）、O（0，0），
∴设该抛物线解析式为
，
把点D代入上式得
，
∴a=
，
∴；
（3）如图所示，连接DP、DQ．由题意可得，CP=2t，EQ=t，则BP=5-2t．
当DP=DQ时，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，
∴5-2t=t，∴t=．
故当t=时，DP=DQ；
（4）∵抛物线的对称轴为直线x=
=-2，
∴设N（-2，n），
又由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，如图1，
则线段EN的中点横坐标为
=-1，线段CM的中点横坐标为
，
∵EN，CM互相平分，
∴=-1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=×22+
×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，如图2，
则线段EM的中点横坐标为
，线段CN中点横坐标为
，
∵EM，CN互相平分，
∴
m=-3，解得m=-6，
又∵M点在抛物线上，
，
∴M（-6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，如图3，
线段CE的中点的横坐标为
=-2，线段MN的中点的横坐标为
，
∵CE与MN互相平分，∴
，
解得m=-2，
当m=-2时，y=
，
即M
．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或．
【题目】某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼额时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：
30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45
对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：
表一
时间t（单位：分钟） |
|
|
|
|
人数 | 2 | a | 10 | b |
表二
平均数 | 中位数 | 众数 |
60 | c | d |
根据以上提供信息，解答下列问题：
（1）填空
①a= b=
②c= d=
（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数。