Question

4．如图，在长方形ABCD中，AB=CD=8cm，BC=14cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）BP=2tcm．（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据P点的运动速度可得BP的长；
（2）根据全等三角形的性质即可得出BP=CP即可；
（3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP=CQ，AB=PC，②△ABP≌△QCP得到BA=CQ，PB=PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．

解答 解：（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t，
则PC=14-2t；

（2）当t=$\frac{7}{2}$时，△ABP≌△DCP，
理由：∵BP=2t，CP=14-2t，
∵△ABP≌△DCP，
∴BP=CP，
∴2t=14-2t，
∴t=$\frac{7}{2}$，

（2）①当△ABP≌△PCQ时，
∴BP=CQ，AB=PC，
∵AB=8，
∴PC=8，
∴BP=BC-PC=14-8=6，
2t=6，
解得：t=3，
CQ=BP=6，
v×3=6，
解得：v=2；
②当△ABP≌△QCP时，
∴BA=CQ，PB=PC
∵PB=PC，
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=7，
2t=7，
解得：t=$\frac{7}{2}$，
CQ=BA=8，
v×$\frac{7}{2}$=8，
解得：v=$\frac{16}{7}$．
综上所述：当v=2或$\frac{16}{7}$时，△ABP与△PQC全等．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握．