Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x²+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，可设D点的横坐标，根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标，即可得到DE的长，以DE为底，D点横坐标为高即可得到△CDE的面积，从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标．

解答：解：（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1），
则有：

1 2 ×4+2b+c=0 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

；
故抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

1

2

x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直线AC：y=

1

2

x-1；
设D（x，0），则E（x，

1

2

x-1），
故DE=0-（

1

2

x-1）=1-

1

2

x；
故△DCE的面积：S=

1

2

DE×|x_D|=

1

2

×（1-

1

2

x）×x=-

1

4

x²+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
因此当x=1，
即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为

1

4

．

（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0），
可求得直线BC的解析式为：y=-x-1；
设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①如图1，

当AP=CP时，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
故P₁（2.5，-3.5）；
②如图2，

当AP=AC时，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
故P₂（1，-2）；
③如图3，

当CP=AC时，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

10

2

，
故P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）；
综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P₁（2.5，-3.5），P₂（1，-2），P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大．