Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于D．

（1）如图1，求证BD=AE；

（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM的面积为30，∠EHB=∠BHG，求线段EH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD即可；

（2）根据全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；

（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．

证明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，

∴∠ACE＝∠BAD，

在△CAE与△ABD中

∴△CAE≌△ABD（AAS），

∴AE＝BD；

（2）连接AH

∵AB＝AC，BH＝CH，

∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，

∴∠ABH＝∠BAH＝45°，

∴AH＝BH，

∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，

∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，

∴∠EAH＝∠DBH，

在△AEH与△BDH中

∴△AEH≌△BDH（SAS），

∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，

∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°

即∠EHD＝90°，

∴∠EDH＝∠DEH＝；

（3）过点M作MS⊥FH于点S，过点E作ER⊥FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET∥BC，交HR的延长线于点T．

∵DG⊥FH，ER⊥FH，

∴∠DGH＝∠ERH＝90°，

∴∠HDG+∠DHG＝90°

∵∠DHE＝90°，

∴∠EHR+∠DHG＝90°，

∴∠HDG＝∠HER

在△DHG与△HER中

∴△DHG≌△HER （AAS），

∴HG＝ER，

∵ET∥BC，

∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，

∠ETF＝∠FHM，

∵∠EHB＝∠BHG，

∴∠HET＝∠ETF，

∴HE＝HT，

在△EFT与△MFH中

，

∴△EFT≌△MFH（AAS），

∴HF＝FT，

∴，

∴ER＝MS，

∴HG＝ER＝MS，

设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，

，

k＝，

∴FH＝5，

∴HE＝HT＝2HF＝10．