Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC，BC∥OA，一边OA在x轴上，另一边OC在y轴上，且OA=AB=5cm，BC=2cm，以OC为直径作⊙P．
（1）求⊙P的直径；
（2）⊙P沿x轴向右滚动过程中，当⊙P与x轴相切于点A时，求⊙P被直线AB截得的线段AD长；
（3）⊙P沿x轴向右滚动过程中，当⊙P与直线AB相切时，求圆心P移动的距离．

Answer 1

分析 （1）作BD⊥OA于点D，由题意可得BD=OC，要求⊙P的直径，只要求出BD的长即可，根据题目中的数量关系，由勾股定理可以得到BD的长，本题得以解决；
（2）根据题意，画出相应的图形，作AE⊥CP交CB的延长线于点E，根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理可以得到AD的长，本题得以解决；
（3）根据题意可知，分两种情况，分别画出相应的图形，然后根据题目中的数量关系和切线的性质，可以分别求得圆心P移动的距离，本题得以解决．

解答 解：（1）如右图①，过B作BD⊥OA．
由题意知：∠BCO=∠DOC=∠BDO=90°．
∴四边形ODBC为矩形．
∴OC=BD，OD=BC．
∵BC=2，
∴DA=OA-OD=5-2．
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
BD²=AB²-DA²，
∴BD=4，
∴CD=4，
即⊙P的直径是4cm；
（2）如右图②所示，当⊙P与x轴相切于A时，
设⊙P与CB所在直线相切于E．
易知P在EA上，且CE=AO=5
∴BE=3
连接ED，
∵EA为直径，
∴∠EDA=90°．
设AD=x，则BD=5-x
由勾股定理知3²-（5-x）²=4²-x²
解得x=$\frac{16}{5}$
∴AD=$\frac{16}{5}$cm．
（3）如右图③所示，当⊙P与AB相切时，分两种情况．
?第一种情况：当⊙P滚动到P₁时，设PP₁=x，由题意易知：PP₁=CE=OG=x，
则BE=BC-CE=2-x，AG=AO-OG=5-x．
∵⊙P₁与AB、AO相切于点F、G，
∴AF=AG=5-x．
∵⊙P₁与BC、AB相切于点E、F，
∴BF=BE=2-x．
∵AB=5，AF+BF=AB，
∴5-x+2-x=5．
解得，x=1，
即PP₁=1cm；
第二种情况：?当⊙P滚动到P₂时，设PP₂=x，易知：OJ=CH=PP₂=x，
则AJ=x-5，BH=x-2，
∵⊙P₂与AB、CH相切，
∴BI=BH=x-2．
同理，AI=AJ=x-5．
∵AB=BI+AI，
∴x-2+x-5=5．
解得，x=6，
即PP₂=6cm；
∴当⊙P与直线AB相切时，点P移动的距离为1cm或6cm．

点评 本题考查圆的综合题、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、切线的性质，解题的关键是明确题意，根据题意可以画出相应的图形，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．