题目内容
如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-
t，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-
| 1 |
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解答：解：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，
∴四边形AGHD为矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=
（BC-AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4
，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=
，tan∠C=tan∠ABC=
，
∴GP=
t，PQ=
t，BN=t+
t=
t，
∴NR=
t，
∴S=
=
t2；
如图3，当3＜t≤4时，BP=t，
∴GP=
t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=
t+2，
∴S=
=2t+4；
如图4，当4＜t≤7时，BP=t，
∴GP=
t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=
，
∴S=
+
=-
t2+
t-
；
如图5，当7＜t≤8时，BP=t，
∴GP=
t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=
+
=-
t2+22；
∴S=
；
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF
，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=
，
由（1）可知EP=
BP=
t，
则EF=EQ=PQ-EP=4-
t，
①如图6，当EF=EP时，4-
t=
t，
∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
∴ER=
EP=
EF，
∴
•
t=
(4-
t)，
∴t=
；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
∵ES=
EF=
PE，
∴
（4-
t）=
•
t，
∴t=
．
∴当t=4、
或
时，△PEF是等腰三角形．
∴四边形AGHD为矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=
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∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4
，∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=
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| 4 |
| 3 |
∴GP=
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| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
∴NR=
| 7 |
| 6 |
∴S=
(
| ||||||
| 2 |
| 10 |
| 9 |
如图3，当3＜t≤4时，BP=t，
∴GP=
| 1 |
| 2 |
∴NR=
| 1 |
| 2 |
∴S=
(
| ||||
| 2 |
如图4，当4＜t≤7时，BP=t，
∴GP=
| 1 |
| 2 |
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=
| 28-4t |
| 3 |
∴S=
(
| ||
| 2 |
(4+
| ||
| 2 |
| 11 |
| 12 |
| 28 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
如图5，当7＜t≤8时，BP=t，
∴GP=
| 1 |
| 2 |
∴S=
(
| ||
| 2 |
| 3×4 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴S=
|
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF
，∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=
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由（1）可知EP=
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| 1 |
| 2 |
则EF=EQ=PQ-EP=4-
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①如图6，当EF=EP时，4-
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∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
∴ER=
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∴
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| 1 |
| 2 |
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| 5 |
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| 2 |
∴t=
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③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，∵ES=
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∴
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| 2 |
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| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
∴t=
| 40 |
| 11 |
∴当t=4、
| 48 |
| 11 |
| 40 |
| 11 |
点评：本题是一道相似形综合试题，考查了动点问题的运用，等腰直角梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分段函数的运用，等腰三角形的性质的运用．解答本题时求分段函数时灵活运用梯形的面积是关键．在第三问运用等腰三角形的性质解答是关键．
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