Question

12．如图所示，△ABC，△ADE为等腰三角形，∠ACB=∠AED=90°．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是EF=FC；∠EFD的度数为90°．
（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．
（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想．

Answer 1

分析 （1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．
（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；
（3）基本方法同（2）．

解答 解：
（1）∵△ABC、△AED为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠ECA=90°，
∴∠ECB=45°，
∴BE=EC，
∵F为BD中点，
∴EF⊥BC，
∴EF=FC，∠EFD=90°，
故答案为：EF=FC；90°
（2）如图2，延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，

∵F为BD中点，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FM}\\{∠BFC=∠DMF}\\{BF=DF}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，MD∥BC，
∴∠MDC=∠BCA=90°
∴∠MDE=∠EAC=135°，
在△MDE和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AC}\\{∠MDE=∠EAC}\\{DE=AE}\end{array}\right.$
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC；
（3）图形如图3，

结论：EF=FC，EF⊥FC．
证明如下：
如图4，延长CF到M，使CF=FM，连接ME、EC，连接DM交延长交AE于G，交AC于H，

∵F为BD中点，
∴DF=FB，
在△BCF和△DFM中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FM}\\{∠BFC=∠DMF}\\{BF=DF}\end{array}\right.$
∴△BFC≌△DFM（SAS），
∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，
∴MD=AC，HD∥BC，
∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，
∴∠MDE=∠EAC，
在△MDE和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AC}\\{∠MDE=∠EAC}\\{DE=AE}\end{array}\right.$
∴△MDE≌△CAE（SAS），
∴ME=EC，∠MED=∠CEA，
∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，
∴∠MEC=90°，又F为CM的中点，
∴EF=FC，EF⊥FC．

点评 本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质和判定等．构造三角形全等是解题的关键，即延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（2）、（3）两问的构造三角形全等难度较大．