Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．点P、Q分别是AB、BC上的动点，当点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设P、Q同时运动的时间为t秒（0<t<2).

（1）求抛物线的表达式；

（2）设△PBQ的面积为S ，当t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2x3；（2）当t=1时，S△PBQ最大=.；（3）当t的值是秒或秒或秒时,△CPQ为等腰三角形.

【解析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=-（t-1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）分为三种情况：①当PB=BQ，②当PQ=BQ，③当PQ=PB进行讨论,

(1)把点A(2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx3(a≠0)，得

解得a=，b=

所以该抛物线的表达式式为：y=x2x3

(2)由题意可知：AP=3t，BQ=t.

∴PB=63t.

由题意得,点C的坐标为(0,3).

在Rt△BOC中,BC=.

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H.

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC

∴,即

∴HQ=t.

∴S△PBQ=PBHQ= (63t) t=t2+

t= (t1)2+.

∴当t=1时，S△PBQ最大=. （）

答：运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是；

（3）分为三种情况：①当PB=BQ时，即63t=t，解得t=

当t=秒，△BPQ是等腰三角形。

②当PQ=BQ时，

∵QH⊥PB，

∴PH=BH=(63t)=3t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴当t=秒时，△BPQ是等腰三角形，

③当PQ=PB时,如图，过P点作PD⊥BC

∵PD⊥BC，

∴BD=QD=BQ=t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴当t=秒时，△CPQ是等腰三角形，

即当△CPQ为等腰三角形时,t的值是秒或秒或秒.