题目内容
8．一块矩形塑料板ABCD，AD=10，AB=4．将一块足够大的直角三角板PHF的直角顶点P置于AD边上（不于A、D 重合，任意移动P点和三角板PHF的位置，如图（1）．
（1）△PEF是否存在这样的位置，使两边直角边分别通过B、C两点？如图（2），若存在，请求出AP的长度，若不存在，请说理由．
（2）PH始终通过B点时，PF交BC于E点，交DC的延长线于Q点，△PHF是否存在这样的位置，使得CE=2？若能请求出这时AP的长度；若不能，请说明理由．
分析 （1）根据相似三角形的性质，判定△ABP∽△DPC列出方程求解；
（2）根据矩形的性质，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．
解答 解：（1）设AP=xcm，则PD=（10-x）cm，
因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
则AB：PD=AP：DC，即AB•DC=PD•AP，
所以4×4=x（10-x），即x2-10x+16=0，
解得：x1=2，x2=8，
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP=2cm或8cm；
（2）能．
设AP=xcm，CQ=ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴AP：CQ=AB：CE，AP：DQ=AB：PQ，
∴AP•CE=AB•CQ，AP•PD=AB•DQ，
∴2x=4y，即y=$\frac{x}{2}$，
∴x（10-x）=4（4+y），
∵y=$\frac{x}{2}$，
即x2-8x+16=0，
解得：{x1=x2x1=x2=4，
∴AP=4cm，
即在AP=4cm时，CE=2cm．
点评 本题考查对一元二次方程的应用，而且还得知道矩形的性质，知道相似三角形的性质，可以正确判定相似三角形，解决本题的关键是运用相似三角形的判定定理和性质定理．
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