Question

已知抛物线y=a（x-3）²+

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过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x=3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：①根据抛物线的解析式即可判定；
②求得AD、CD的长进行比较即可判定，
③过点C作CE∥AB，交抛物线与E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；
④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定；

解答：解：由抛物线y=a（x-3）²+

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可知：抛物线的对称轴x=3，故①正确；
∵抛物线y=a（x-3）²+

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过点C（0，4），
∴4=9a+

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，解得：a=-

1

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，
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

（x-3）²+

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，
令y=0，则-

1

4

（x-3）²+

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=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）；
∴AB=10，
∴AD=5，
∴OD=3
∵C（0，4），
∴CD=

OC2+OD2

=5，
∴CD=AD，
∴点C在圆上，故②错误；
过点C作CE∥AB，交抛物线与E，
∵C（0，4），
代入y=-

1

4

（x-3）²+

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4

得：4=-

1

4

（x-3）²+

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，
解得：x=0，或x=6，
∴CE=6，
∴AD≠CE，
∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；
由抛物线y=a（x-3）²+

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可知：M（3，

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），
∵C（0，4），
∴直线CM为y=

3

4

x+4，直线CD为：y=-

4

3

x+4，
∴CM⊥CD，
∵CD=AD=5，
∴直线CM与⊙D相切，故④正确；
故选B．

点评：本题考查了抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．