Question

如图，AD是△ABC（AB＞AC）的角平分线，AD的中垂线和BC的延长线交于点E，求证：DE²=BE•CE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：AD的中垂线交AC于F点，连接DF，AE，结合条件可证得DF∥AB，则有∠B=∠FDE，再结合条件可证得△DFE≌△AFE，能得到∠B=∠FAE，可证得△AEC∽△BEA，从而得到线段的比例关系，证得结论．

解答：
证明：AD的中垂线交AC于F点，联结DF，AE
∴AF=FD（中垂线）∠ADF=∠DAF
又∵∠BAD=∠DAF（角平分线）
∴∠BAD=∠ADF
∴DF∥AB （内错角相等，两直线平行）
∴∠B=∠FDE
AE=DE（中垂线）
在△DFE和△AFE中，

FD=FA ED=EA EF=EF

，
∴△DFE≌△AFE（SSS）
∴∠FDE=∠FAE
即∠B=∠FAE
∴△AEC∽△BEA
∴

AE

BE

=

EC

EA

∴AE²=BE×CE
∴DE²=BE×CE．

点评：本题主要考查三角形相似的判定和性质，证明的关键是借助条件寻找三角形相似的条件．