Question

14．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，探究PB与PQ所满足的数量关系；
小明同学探究此问题的方法是：
过P点作PE⊥DC于E点，PF⊥BC于F点，
根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF，
再证明△PEQ≌△PFB，可得出结论，他的结论应是PB=PQ；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）过P作PF⊥BC，PE⊥CD，证明Rt△PQE≌Rt△PBF即可；
（2）证明思路同（1），只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可；

解答 解：（1）结论：PB=PQ，
理由：过P作PF⊥BC，PE⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°，
∴∠BPF=∠QPE，
在△PEQ和△PFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠QPE}\\{PF=PE}\\{∠PFB=∠PEQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQE≌Rt△PBF，
∴PB=PQ；
故答案为PB=PQ．

（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．

点评 此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．