Question

已知方程（m-1）x²-（m²+2）x+（m²+2m）=0，（n-1）x²-（n²+2）x+（n²+2n）=0（其中m，n都是正整数，且m≠n≠1）有一个公共根，求mⁿ•n^m的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的解

专题：

分析：由于一元二次方程（m-1）x²-（m²+2）x+（m²+2m）=0，（n-1）x²-（n²+2）x+（n²+2n）=0有一个公共根，求出这两个方程的根，根据条件列关于m，n的方程，解m，n即可求出mⁿ•n^m的值．

解答：解：将一元二次方程（m-1）x²-（m²+2）x+（m²+2m）=0分解因式解得
[（m-1）x-（m+2）]（x-m）=0
∴x=

m+2

m-1

或x=m   （m≠1）
将一元二次方程，（n-1）x²-（n²+2）x+（n²+2n）=0分解因式解得
[（n-1）x-（n+2）]（x-n）=0
∴x=

n+2

n-1

或x=n   （n≠1）
∵方程（m-1）x²-（m²+2）x+（m²+2m）=0，（n-1）x²-（n²+2）x+（n²+2n）=0有一个公共根，且m，n都是正整数，且m≠n≠1
∴

m+2 m-1 =n n+2 n-1 =m

解得mn=m+n+2
由奇偶性可知，m，n都为偶数
∵m≠n≠1
∴m=2，n=4或n=2，m=4
∴mⁿ•n^m=2⁴•4²=16×16=256

点评：此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．