Question

已知抛物线过点（-2，4），与y轴的交点为B（0，1）。 （1）求抛物线的解析式及其顶点A的坐标； （2）在抛物线上是否存在一点C，使∠BAC=90。？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标； （3）P、Q为抛物线上的两点，且横坐标分别为4和6，在x轴、y轴上分别有两个动点M、N，当PM +MN +NQ最小时，求出M、N两点的坐标。

Answer 1

解：（1）∵ 抛物线过（- 2，4），（0，1）                 ∴  ∴               ∴抛物线的解析式为，其顶点为（2，0） （2）假设存在C点使∠BAC = 90°，         设C（t，），         过C作CD⊥x轴于D，则D（t，0），         ∴       ∵ ∠BAC = 90°，∠ADC = 90°        ∴ ∠BAO =∠ACD        ∴ △BAO ∽△ACD       ∴       ∴解得t1 = 2（舍），t2 = 10       ∴ 存在C（10，16）使∠BAC = 90° （3）∵ 点P在抛物线上，且横坐标分别为4和6          ∴ P（4，1），Q（6，4）          ∴ 点P关于x轴的对称点为P'（4，- 1），               点Q关于y轴的对称点Q'（- 6，4）         ∵        ∴ 当P'、M、N、Q'共线时，最小       ∵ P'Q'的解析式为      ∴ 此时M（2，0），N（0，1）