题目内容
16．
我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．（1）求点C的坐标；
（2）分别求出经过点C和点D的“蛋圆”的切线的表达式．
分析 （1）连接CM，易求点A，B的坐标，进而可得到AB的长，则圆的半径可求出，再由勾股定理可求出OC的长，继而可求出点C的坐标；
（2）由（1）可知点C的坐标，设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，然后根据三角形性质求出G点坐标，用待定系数法求出直线GC的解析式；因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx-3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题．
解答 解：（1）∵二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，
∴点A（-1，0），点B的坐标是（3，0），
∴AB=4，
∵半圆圆心为点M，
∴BM=AM=2，
∴OM=1，
连接CM，
∴OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标是（0，$\sqrt{3}$）；
（2）设过点C的“蛋圆”的切线交x轴于点G，
∵GC是⊙M的切线，
∴∠GCM=90°，
∴cos∠OMC=$\frac{OM}{MC}$=$\frac{MC}{MG}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{MG}$，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直线GC的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
设过点D的直线表达式为y=kx-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
∴x2-（2+k）x=0，
∴△=[-（2+k）]2=0，
∴k=-2，
∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．
点评 本题考查和圆以及二次函数有关的综合题目，需灵活运用待定系数法建立函数解析式，并利用切线的性质，结合一元二次方程是解题关键，题目的设计新颖，是一道不错的中考题目．
如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：
如图所示：在平面直角坐标系中，以点M（0，$\sqrt{3}$）为圆心，2$\sqrt{3}$为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D为BC边上一点，CD=3，过A，C，D三点的⊙O与斜边AB交于点E，连结DE．
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB=$\frac{4}{5}$，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设AD=x，△AEF的面积为y．| A． | -1 | B． | 1 | C． | 3 | D． | 5 |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | -3 | D． | 3 |