Question

12．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，以A为圆心，AC为半径的圆交AB于F，交BA延长线于E，CD⊥AB于D，给出四个等式①BC²=BF•BA；②CD²=AD•AB；③CD²=DF•DE；④BF•BE=BD•BA，其中能够成立的是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据圆周角定理得到∠ECF=90°，得到∠ACE=∠FCB，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ACE，等量代换得到∠E=∠FCB，推出△BCE∽△BFC，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BC}$，推出BC²=BE•BF，由△ACB∽△BCD，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，于是得到BC²=BD•BA，等量代换得到BF•BE=BD•BA，同理得到CD²=DF•DE，由△ACD∽△BCD，得到$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，于是得到CD²=AD•BD，即可得到结论．

解答 解：连接CF，CE，
∵EF是⊙O的直径，
∴∠ECF=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACE=∠FCB，
∵AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠E=∠FCB，
∵∠B=∠B，
∴△BCE∽△BFC，
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BC}$，
∴BC²=BE•BF，
∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠BDC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△BCD，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=BD•BA，
∴BF•BE=BD•BA，∴④正确，
同理△CDF∽△CDE，
∴$\frac{CD}{DE}=\frac{DF}{CD}$，
∴CD²=DF•DE，∴③正确，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD，
∴①②错误，
故选B．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，射影定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．