Question

5．（1）知识再现
如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB=4．现在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点A关于直线L的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，线段BA′的长度即为AP+BP的最小值．请你求出这个最小值．
（2）实践应用
①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是2$\sqrt{3}$；
②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为$\sqrt{7}$．
③如图（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为$\sqrt{3}$．
④如图（5），在R△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=$\sqrt{3}$，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是3+$\sqrt{3}$．
（3）拓展延伸
如图（6），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作BM⊥AA′于M，连接AB，在RT△ABM中利用勾股定理求出BM²，再在RT△BMA′中利用勾股定理即可解决问题．
（2）①如图2中，延长AO交⊙O于H，连接CH交OB于点P，此时PA+PC最小，利用勾股定理计算即可．
②如图3中，在y轴上取一点C′使得OC′=0C=1，连接AC′交OB于点P，此时PC+PA最小，最小值=AC′，利用勾股定理计算即可．
③如图4中，当KP⊥BC，KQ⊥CD时，KP+KQ最小，利用$\frac{1}{2}$•BD•CO=$\frac{1}{2}$•BC•KP+$\frac{1}{2}$•CD•KQ，即可解决问题．
④如图5中，因为E、C关于AD对称，所以当点P与点D重合时，△PEB周长最小，利用勾股定理计算即可．
（3）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′并延长交AC于点P，此时∠APB=∠DPA．

解答 解：（1）如图1中，作BM⊥AA′于M，连接AB．

在RT△BMA中，∵∠BMA=90°，AB=4，AM=1，
∴BM²=AB²-AM²=15，
在RT△BMA′中，∵∠BMA′=90°，MA′=5，
∴BA′=$\sqrt{B{M}^{2}+MA{′}^{2}}$=$\sqrt{15+25}$=2$\sqrt{10}$．
（2）①如图2中，延长AO交⊙O于H，连接CH交OB于点P，此时PA+PC最小，

∵OA=OH，PO⊥AH，
∴PA=PH，
∴PA+PC=PH+PC=HC，
∵AH是直径，
∴∠ACH=90°，∵∠AOC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠HAC=60°，
在RT△ACH中，∵∠AHC=30°，AC=2，
∴AH=4，CH=$\sqrt{A{H}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．
②如图3中，作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′交OB于点P，此时PC+PA最小，最小值=AC′，

∵点C′坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴AC′=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为$\sqrt{7}$．
③如图4中，当KP⊥BC，KQ⊥CD时，KP+KQ最小，

连接AC交BD于点O，由题意：$\frac{1}{2}$•BD•CO=$\frac{1}{2}$•BC•KP+$\frac{1}{2}$•CD•KQ，
∴KP+KQ=$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．
④如图5中，

∵E、C关于AD对称，
∴当点P与点D重合时，△PEB周长最小，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，DE=CD=$\sqrt{3}$，∠DBE=60°，
∴BD=2EB，设EB=x，则BD=2x，
∴（2x）²=x²+（$\sqrt{3}$）²，
∴x=±1，
∵x＞0，
∴x=1，
∴EB=1，DB=2，
∴△PEB周长最小值=3+$\sqrt{3}$．
故答案为3+$\sqrt{3}$．
（3）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′并延长交AC于点P，此时∠APB=∠DPA．

点评 本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题，所以中考常考题型．