Question

如图，在正方形中，，点是边上的任意一点，是延长线上一点，联结，作交的平分线上一点，联结交边于点．

（1）求证：；
（2）设点到点的距离为，线段的长为，试求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当点是线段延长线上一动点，那么（2）式中与的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）改变，.

试题分析：（1）欲证利用原图无法证明，需构建三角形且使之全等，因此在边上截取线段，使，连接，证明与全等即可．
（2）由∽列式化简即可得.
（3）在延长线上取点，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.

试题解析：（1）在边上截取线段，使，连接，
由正方形，得，
∵，∴.
∵，∴.
又∵，平分，∴.∴.
又∵，∴，即得.
∴，即得.
在和中，，
∴≌，
∴．

（2）在上取点，令，
∴是等腰直角三角形.∴.
同理，，
∵，
∴∽.
∴，即.
整理，得.
（3）改变，.